e

[Tutchek]

A protože v jednom topicu jedeme kdo víc, tady si dáme jasný limit, "e"

2

Konvergujme!
_________________
Nemarni čas u kompu, pojď si zaběhat do lesa

function god_exists() { return false; }

[ladik-BigBoss]

2.7

[pcmaster]

e

vyhral som?
_________________
Off-topic flame-war addict since the very beginning. Registered since Oct. 2003!
Interproductum fimi omne est.

[Yossarian]

[Peta]

Roflmao

Yoyo :-*

e^e

[rezna]

lim (n->+inf) (1 + 1/n)^n

[ladik-BigBoss]

tucna> domnivam se ze je to 3, nebo taky 2,5 kdyz ma clovek kratsi prsty. a kdyz mas idealni delku prstu tak je to presne e

[rezna]

reznova limita je e

[rezna]

no jo - co ze studujes? hradec nebo pardubice? - to neni "lopital" - mas tam ^n takze zadny (1+0)^n = 1 - jinak je tohle jedna z limit ktera se jednou dokaze a pak uz se s ni pocita

[igor]

ale trochu ti tam unika to ^n, zkus si ty ubercisla s celym vyrazem

[Tutchek]

Věta: lim(n->oo) (1+1/n)^n = e

Důkaz: lim(n->oo) (1+1/n)^n =(Heineho veta)= lim(x->oo) (1+1/x)^x =(definice obecne mocniny)= lim(x->oo) e^{x*log(1+1/x)} = e^L

L := lim(x->oo) { x*log(1+1/x) } = lim(x->oo) { log(1+1/x) / (1/x) } = lim(y->0+) { log(1+y) / y } =(0/0, l'H)=lim(y->0+) { (1/(1+y) )/ 1 } = 1

tedy lim(n->oo) (1+1/n)^n = e^L = e^1 = e

QED

Tva chyba je samozrejme v zanedbani mocniny "na nekonecnou", pac veta o aritmetice limit, konkretne bod

[OndraSej]

tucna> no dobre, prinutil jsi me pocitat:

(vsechny limity, pokud neni napsano jinak, jsou n->\infty. Pro prehlednost to tam nebudu psat
lim(1+1/n)^n = lim e^(n*log(1+1/n)) = lim e^K (pismenem K oznacime to v exponentu)
Podle vety o limite slozene funkce staci spocitat jenom limitu toho exponentu K a pak dosadit do puvodniho vzorce:
lim K = lim n*log(1+1/n) = lim n*log(1+1/n)*((1/n)/(1/n))
Posledni krok s tim (1/n)/(1/n) je vynasobeni jednickou, hodnotu vyrazu nemeni. A protoze z definice logaritmu vime, ze lim_{x->1} log(x+1)/x = 1 a taky, ze 1+1/n pro n->\infty se ma limitu jedna, muzeme to zkratit na
lim n*(1/n) = lim n/n = 1 = lim K
Dosazenim do puvodniho vzorce dostaneme
lim e^K = lim e^1 = e

Staci takhle?
_________________
http://trionteam.net

[Tutchek]

pane sykoro, strhavame vam tri body za pouziti vzorce pro obecnou mocninu, platnou pro funkce, na posloupnost....


ja si strhavam par bodu za neuveeni poznamky o limite slozene funkce
_________________
Nemarni čas u kompu, pojď si zaběhat do lesa

function god_exists() { return false; }

[goophy]