Jak vypočítám pravděpodobnost?

[Robert]

Zdravím všechny,

mám tu jeden matematický problémek s pravděpodobností. Pokud někdo ví jak na to, tak bych byl vděčný za pomoc: Jakým způsobem / algoritmem vypočítám pravděpodobnost následujícího:

1) Mám dejme tomu 20 čísel (od 1 do 20).
2) Vyberu si 4 nějaká čísla (v tomto rozsahu).
3) Postupně táhnu všech 20 čísel.
4) Jak zjistím pravděpodobnost jevu, že ta má vybraná čísla vytáhnu do určitého pořadí.

Pokud bych měl spočítat pravděpodnobost do 4. pořadí, tak to bude vlastně něco jako "sportka", kdy tipuju 4 čísla z 20-ti.
Jaká bude pravděpodobnost, že moje 4 čísla vytáhnu do 5. pořadí, do 6. pořadí ... atd. až do 20. pořadí ?
Po tažení dvacátého čísla budou samozřejmě vybrána ta moje 4 čísla určitě a pravděpodobnost je 1 (100%).

Díky všem za pomoc.

[if.then]

IMHO by to nemělo být tak složité. Uvažuj vytažení jednoho čísla: první tažení má pravděpodobnost 1/20, že padne tvoje číslo. To následuje druhé tažení, kde je pravděpodobnost vytažení tohoto čísla z těch původních 20 tažení opět 1/20. Tzn. v případě jednoho čísla je pravděpodobnost k/20, kde k je počet kol. Můžeme si ověřit, že to po dvacátém kole dává 1.
pravdepodobnost1 = minule_kolo + 1/20

Při vytažení dvou čísel si musíme uvědomit, že nemůžeme v daném kole vytáhnout obě dvě čísla. V prvním kole má tedy první číslo pravděpodobnost 1/20, druhé 0/20 a obě 0/20. V druhém kole má první pravděpodobnost 2/20, druhé 1/(20-1) (je to vázáno na to, že známe první číslo), obě 1/20 (pravděpodobnost prvního v jednom z předchozích vrhů) * 1/(20-1) (pravděpodobnost druhého). V každém kole tedy bude pravděpodobnost2 = minule_kolo + mn(k-1)/20 * 1/(20-1). (mn() = funkce pro "minimálně nula") Ale pozor! Můžeme hodit i druhé číslo před prvním (přesvědčí nás to, že výsledek rovnice výše pro všechna kola až do 20 je 0.5), tzn. finální je
pravděpodobnost2 = minule_kolo + (2 * mn(k-1)/20 * 1/(20-1)).
Z toho se už dá pracovat dál.

Zatím musím běžet, takže pokračování příště
_________________
For guns and glory, go to www.ceske-hry.cz.
For work and worry, execute VC++.

[Tigr]

Můj pokus: co zkusit spočítat pravděpodobnost doplňku? Vytáhnu nějakých n čísel, ale je mezi nimi jen 0, 1, 2 či 3 z těch čtyř vybraných. Počty případů v těchto skupinách mohu sečíst, protože se nijak nepřekrývají. Podělím to počtem všech tažení n čísel a zbytek do jedničky by měla být hledaná pravděpodobnost.

n ... počet tažených čísel (4..20)
N ... počet všech čísel (20)
k ... počet označených čísel (4)



Teď mě napadá, že ta suma je vlastně zbytečná, protože v ní chybí jen počet úspěšných případů a spolu s ním musí dát dohromady jmenovatel (při každém pokusu vytáhneme 0/1/2/3/4 ze 4 označených čísel, jiné možnosti nejsou). Je tedy lepší vzít rovnou poslední (nahoře vynechaný) člen té sumy:

[Robert]

Našel jsem (s cizí pomocí tedy) asi správné řešení. Je podobné jako poslední Tigrův vzorec, jen je tam ještě navíc násobení v čitateli kombinačním číslem (k nad k). Myslím, že to tam musí být a je to dobře vidět na případu, kdy n = 4, pak by v čitateli bylo číslo jedna (n - k by byla nula), ale to není spráná pravděpodobnost, protože může být taženo právě (k nad k) správných kombinací ze všech možných tahů. Celé by to tedy doufám mělo vypadat asi takto:



Díky všem.

[Robert]

Po včerejším flámu jsem trochu mimo. (k nad k) je samozřejmě vždycky jedna, takže to tam být nemusí. Pak je Tigrův vzorec správně. Ještě jednou díky.